Cho tứ diện ABCD có AB=AC=BD=CD=1. Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng

Chọn B

Đặt BC=x; AD=y   x,y>0.

Gọi  lần lượt là trung điểm  và

ΔABC cân tại A   và ΔDBC  cân tại 

D⇒AH⊥BC,DH⊥BC⇒BC⊥AHD⇒BC⊥HK.

Mặt khác, AH=DH⇒ΔHAD   cân tại H⇒AD⊥HK.

Suy ra, dBC,AD=HK.

Ta có: AH=AB2−BH2=1−x24=4−x22⇒HK=AH2−AK2=4−x2−y22.

VABCD=13BC.SAHD=13.BC.12.HK.AD=112xy4−x2−y2

Áp dụng bất đắng thức Cauchy ta có: 

VABCD=112xy4−x2−y2=112x2y24−x2−y2≤112x2+y2+4−x2−y233=2327.

Dấu  xảy ra ⇔x2=y2=4−x2−y2⇔x=y=23 .

Do đó: Vmax=2327⇔x=y=23.

Khi đó: HK=13.