Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\), \(K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(BC\), \(SA\). Biết mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần có thể tích là \({V_1},{V_2}\) \(\left( {{V_1} < {V_2}} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{}{}\).

Lời giải

Chọn B Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), kéo dài \(MN\) cắt \(DA\), \(DC\) lần lượt tại \(F\), \(E\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), gọi \(FK \cap SD = Q\). Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), gọi \(QE \cap SC = P\). Suy ra thiết diện là ngũ giác \(MNPQK\) và \(MN{\rm{//}}AC\;{\rm{//\;}}PK\). Đặt \(h = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {K,\left( {ABCD} \right)} \right) = d\left( {P,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}h\) Ta có: \(FA = BN = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \frac = 3\). Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SAD\), suy ra \(\frac.\frac.\frac = 1 \Rightarrow \frac = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac = \frac{3}{4} \Rightarrow d\left( {Q,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{3}{4}h\) Mặt khác: \({S_{FAM}} = {S_{NCE}} = {S_{BMN}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}} \Rightarrow {S_{DEF}} = \frac{9}{8}{S_{ABCD}}\) Suy ra thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S là \(V = {V_{QDEF}} - {V_{KAMF}} - {V_{PECN}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{3}{4}h.\frac{9}{8}S - \frac{1}{2}h.\frac{1}{8}S - \frac{1}{2}h.\frac{1}{8}S} \right)\) \( = \frac{1}{3}.\frac.h.{S_{ABCD}} = \frac{V_{ABCD}} = {V_2}\) \( \Rightarrow {V_1} = \frac{9} \Rightarrow \frac{}{} = \frac{9}\)