Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn GA→+GB→+GC→+GD→=0→. Mặt phẳng thay đổi chứa BG và cắt AC,AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số VABMNVABCD là

Gọi O là trọng tâm tam giác BCD

⇒GB→+GC→+GD→=3GO→

⇒GA→+3GO→=0→

⇒GA→=−3GO→

⇒AGAO=34

Trong (ABE) gọi F=BG∩AE  F∈AE

Lấy M∈AC trong (ACD) gọi N=MF∩AD   N∈AD khi đó ta có mặt phẳng chứa BG cắt AC,AD lần lượt tại M,N chính là (BMN).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AOE, cát tuyến BGF:

GAGO.BOBE.FEFA=1⇒3.23.FEFA=1⇒FEFA=12⇒AFAE=23⇒F là trọng tâm tam giác ACD.

Trong (ACD) kéo dài MN cắt CD tại H. Đặt AMAC=x(0

 Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACE, cát tuyến MHF:

MAMC.HCHE.FEFA=1⇒x1−x.HCHE.12=1⇒HCHE=21−xx⇒HE=x21−xHC⇒HC+CE=x21−xHC⇒CE=3x−221−xHC

Ta có:

HD=HC+2CE         =HC+3x−21−xHC=2x−11−xHC⇒HEHD=x21−x:2x−11−x=x22x−1

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AED, cát tuyến MFN:

FAFE.HEHD.NDNA=1⇒2.x22x−1.NDNA=1⇒NDNA=2x−1x⇒NAND=x2x−1⇒NANA+ND=xx+2x−1=x3x−1⇒ANAD=x3x−1

Khi đó ta có VABMNVABCD=AMAC.ANAD=x.x3x−1=x23x−1  x>13

Xét hàm số fx=x23x−1  x>13 ta có

f'x=2x3x−1−3x23x−12=3x2−2x3x−12;f'(x)=0⇔x=0ktmx=23

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy min13;+∞fx=f23=49

Vậy giá trị nhỏ nhất của tỉ số VABMNVABCD=49Đáp án cần chọn là: B