Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Cho các phát biểu sau: (I) AD+BE+CF>34AB+BC+AC; (II) AD + BE + CF < AB + BC + AC. Chọn khẳng định đúng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Ta xét (I):

Xét ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC, do đó GB=23BE và GC=23CF.

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra 23BE+23CF>BC

Hay 23BE+CF>BC

Do đó BE+CF>32BC  (1).

Chứng minh tương tự ta được:

⦁ AD+BE>32AB  (2).

⦁ AD+CF>32AC  (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:

2AD+2BE+2CF>32AB+32BC+32AC

Suy ra 2AD+BE+CF>32AB+BC+AC

Do đó AD+BE+CF>34AB+BC+AC.

Vậy (I) đúng.

• Ta xét (II):

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’ (theo cách dựng);

ADB^=A'DC^ (hai góc đối đỉnh);

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC)

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (hai cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ 2BE < AB + BC (5).

⦁ 2CF < AC + BC (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được:

2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy (II) đúng.

Kết luận: cả (I) và (II) đều đúng.

Ta chọn phương án C.