Cho đa thức \(f(x) = {(1 + 3x)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \cdots + {a_n}{x^n}\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Tìm hệ số \({a_3}\), biết rằng \({a_1} + 2{a_2} + \cdots + n{a_n} = 49152n\).

Giải thích 

Đạo hàm hai vế \(f(x)\) ta có:

\(3n{(1 + 3x)^{n - 1}} = {a_1} + 2{a_2}x +  \ldots n{a_n}{x^{n - 1}}\)

\( \Rightarrow f'(1) = 3n{.4^{n - 1}} = {a_1} + 2{a_2} +  \cdots  + n{a_n} = 49152n \Rightarrow {4^{n - 1}} = 16384 \Leftrightarrow n = 8\)

Số hạng tổng quát thứ \(k + 1\) trong khai triển thành đa thức của \({(1 + 3x)^8}\) là \({T_{k + 1}} = C_8^k{3^k}{x^k}\) \( \Rightarrow {a_3} = C_8^3{3^3} = 1512\).