Cho tứ diện đều cạnh \(a\) và điểm \(I\) bất kì nằm trong tứ diện. Tổng khoảng cách từ \(I\) đến các mặt của tứ diện bằng

Giả sử ta có tứ diện đều như hình vẽ.

Ta có \(AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

\(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Ta có \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}\) .

Mặt khác, \[{V_{SABC}} = {V_{ISAB}} + {V_{IABC}} + {V_{ISAC}} + {V_{ISBC}}\]

\( = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.[d(I;(SAB)) + d(I;(ABC)) + d(I;(SAC)) + d(I;(SBC))]\)

\( \Leftrightarrow d(I;(SAB)) + d(I;(ABC)) + d(I;(SAC)) + d(I;(SBC)) = \frac{{3{V_{SABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)