Cho hàm số \(y = \left| {{x^4} - 2m{x^2} + 2m - 1} \right|\) với m là tham số thực. Số giá trị nguyên trong khoảng [−2;2] của m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là

- Đặt \(f(x) = {x^4} - 2m{x^2} + 2m - 1\)

- Xét các trường hợp:

+ Trường hợp 1: hàm số có một cực trị

+ Trường hợp 2: hàm số có ba cực trị

Lời giải

Đặt \(f(x) = {x^4} - 2m{x^2} + 2m - 1,{f^\prime }(x) = 4{x^3} - 4mx,f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} = m}\end{array}} \right.\)

+ Trường hợp 1: hàm số có một cực trị \( \Rightarrow m \in [ - 2;0]\).

Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có một điểm cực trị là \(A(0;2m - 1)\).

Do \(m \in [ - 2;0] \Rightarrow {y_A} = 2m - 1 < 0\) nên đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên hàm số \(y = |f(x)|\) có 3 cực trị \( \Rightarrow \) có 3 giá trị nguyên của \(m\) thỏa ycbt.

+ Trường hợp 2: hàm số có ba cực trị \( \Rightarrow m \in (0;2]\).

Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là \(A(0;2m - 1),B\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 2m - 1} \right)\), \(C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 2m - 1} \right)\).

Do \(a = 1 > 0\) nên hàm số \(y = |f(x)|\) có 3 điểm cực trị khi hàm số \(y = f(x)\) có \({y_B} = {y_C} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow  - {m^2} + 2m - 1 \ge 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Nếu \({y_B} = {y_C} < 0\) (trong bài toán này không xảy ra) thì hàm số có ít nhất 5 điểm cực trị.

Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa ycbt.