Cho hình chóp S.ABCD có đáy \({\rm{ABCD}}\) là hình bình hành. Trên các cạnh \({\rm{SA}},{\rm{SB}},{\rm{SC}}\) lần lượt lấy các điểm \({A^\prime },{B^\prime },{C^\prime }\) sao cho \(SA = 2S{A^\prime };SB = 3S{B^\prime };SC = 4S{C^\prime }\), mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) cắt cạnh \({\rm{SD}}\) tại \({D^\prime }\). Gọi \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích của hai khối chóp \(S.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) và S.ABCD. Khi đó tỉ số ...

V_{S.A′B′C′D′} = V_{S.A′B′C′} + V_{S.A′C′D′}

Lời giải

\(\frac{{S{A^\prime }}} + \frac{{S{C^\prime }}} = \frac{{S{B^\prime }}} + \frac{{S{D^\prime }}} \Rightarrow 2 + 4 = 3 + \frac{{S{D^\prime }}} \Rightarrow \frac{{S{D^\prime }}} = 3 \Rightarrow SD = 3S{D^\prime }\)

\(\frac{{{V_{S.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{S{A^\prime }}}.\frac{{S{B^\prime }}}.\frac{{S{C^\prime }}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1} \Rightarrow {V_{S.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }}} = \frac{1}{S_{S.ABC}}\)

\(\frac{{{V_{S.{A^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{S{A^\prime }}}.\frac{{S{D^\prime }}}.\frac{{S{C^\prime }}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1} \Rightarrow {V_{S.{A^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}} = \frac{1}{S_{S.ACD}}\)

\( \Rightarrow {V_{S.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}} = {V_{S.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }}} + {V_{S.{A^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}} = \frac{{{V_{S.ABC}} + {V_{S.ACD}}}} \Rightarrow \frac{{{V_{S.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}\)