Cho số thực \(a\) và hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x}&{{\rm{khi\;}}x \le 1}\\{a\left( {x - 2{x^2}} \right)}&{{\rm{khi\;}}x > 1}\end{array}} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{dx}}} \).

Vì hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\).

\( \Leftrightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {a\left( {x - 2{x^2}} \right)} \right] = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x} \right) \Leftrightarrow a =  - 2\).

Ta có