Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng hình elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường parabol có chung đinh, đối xứng với nhau qua trục của elip như hình vẽ. Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là 8m và 4m, F1, F2 lần lượt là hai tiêu điểm của elip. Phần A, B dùng để trồng hoa, phần C, D dùng để trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt là 250.000 đ và 150.000 đ. Tính tồng số tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm tròn đến hàng nghìn).

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi SA, SB, SC, SD lần lượt là diện tích các phần A, B, C và D. Theo giả thiết ta được \[{S_A} = {S_B},\,\,{S_C} = {S_D}\].

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó elip \((E)\) có dạng \((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,(0 < b < a)\).

Theo bài \(2a = 8 \Leftrightarrow a = 4;2b = 4 \Leftrightarrow b = 2\) suy ra phương trình của elip là

\((E):\frac{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) (1). \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt 3 \) suy ra \({F_2}(2\sqrt 3 ;0)\).

Gọi \((P)\) là parabol nẳm ở phần phía trên của trục \({\rm{Ox}}\), cắt \((E)\) tại điểm \(M\) với hoành độ \({x_M} = 2\sqrt 3 \) khi đó \(M \in (E) \Rightarrow M(2\sqrt 3 ;1)\).

Theo giả thiết, parabol \((P)\) có dạng \(y = m.{x^2}\). Do \(M \in (P) \Rightarrow 1 = 12.m \Leftrightarrow m = \frac{1}\).

Từ (1) ta được \(\frac{{{y^2}}}{4} = 1 - \frac{{{x^2}}} \Leftrightarrow y =  \pm \frac{1}{2}\sqrt {16 - {x^2}} \).

Diện tích của phần \(A\) là

\({S_A} = \int_{ - 2\sqrt 3 }^{2\sqrt 3 } {\left( {\frac{1}{2}\sqrt {16 - {x^2}}  - \frac{1}{x^2}} \right)} {\rm{d}}x = \int_{ - 2\sqrt 3 }^{2\sqrt 3 } {\frac{1}{2}} \sqrt {16 - {x^2}} \;{\rm{d}}x - \frac{1}\int_{ - 2\sqrt 3 }^{2\sqrt 3 } {{x^2}} \;{\rm{d}}x{\rm{ hay}}\)

\({S_A} = {I_1} - \left. {\frac{1}{x^3}} \right|_{ - 2\sqrt 3 }^{2\sqrt 3 } = {I_1} - \frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\)

Với \({I_1} = \frac{1}{2}\int_{ - 2\sqrt 3 }^{2\sqrt 3 } {\sqrt {16 - {x^2}} } \;{\rm{d}}x\). Đặt \(x = 4\sin t \Rightarrow {\rm{d}}x = 4\cos t\;{\rm{d}}t\) với \(t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\).

Đổi cận: Khi \(x =  - 2\sqrt 3 \) ta được \(t =  - \frac{\pi }{3}\); khi \(x = 2\sqrt 3 \) ta được \(t = \frac{\pi }{3}\).

Theo công thức đổi biến số, thì:

\[{I_1} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {16 - 16{{\sin }^2}x} } .4\cos tdt = 8\int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {{{\cos }^2}} tdt\]

Hay \({I_1} = 4\int_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {(1 + \cos 2t)} dt = \left. {4\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} = 8\left( {\frac{\pi }{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\).

Từ đó tìm được \({S_A} = \frac{{8\pi  + 2\sqrt 3 }}{3}\).

Diện tích của \((E)\) là \({S_{(E)}} = \pi ab = 8\pi \).

Diện tích của phần \(C\) là \({S_C} = {S_D} = \frac{{{S_{(E)}} - 2{S_A}}}{2} = \frac{{4\pi  - 2\sqrt 3 }}{3}\).

Số tiền cần sử dụng để hoàn thành khu vườn trên là:

\(\left( {2.{S_A}} \right) \times 250000 + \left( {2.{S_C}} \right) \times 150000 \approx 5676367,372\)

 Chọn A