Bác Nam muốn xây một bể bơi hình hộp chữ nhật không nắp. Biết rằng chiều dài của bể bơi gấp 3 lần chiều rộng của bể bơi, thể tích chứa nước của bể là 1000m3 nước. Để xây bể, bác Nam đã dự tính kinh phí phụ thuộc vào diện tích mặt của bể bơi. Hỏi, diện tích mặt của bể bơi là bao nhiêu thì kinh phí xây dựng bể bơi là thấp nhất?

Phương pháp giải

Quy bài toán hình học về hàm số rồi khảo sát hàm số đó để tìm GTLN, GTNN.

- Gọi chiều rộng của bể là x > 0, chiều cao của bể là h > 0

- Biểu diễn thể tích và diện tích theo các biến.

- Áp dụng BĐT Cô si tìm giá trị nhỏ nhất.

Thể tích khối hộp, khối lăng trụ 

Lời giải

Gọi chiều rộng của bể là x > 0, chiều cao của bể là \[h > 0\; \Rightarrow V = 3{x^2}h = 1000\,\,\left( {{m^3}} \right)\] . (I)

Vì bể có dạng hình hộp chữ nhật không nắp nên diện tích mặt là:  

\[S = 3{x^2} + 2xh + 6xh = 3{x^2} + 8xh\;\] (II)

Từ (I) và (II), ta có: \(S = 3{{\rm{x}}^2} + \frac{{3{\rm{x}}}} \ge 3\sqrt[3]{{3{{\rm{x}}^2}.\frac{{3{\rm{x}}}}.\frac{{3{\rm{x}}}}}} = 100\sqrt[3]\) (Áp dụng BĐT Cô si).

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(3{{\rm{x}}^2} = \frac{{3{\rm{x}}}} \Leftrightarrow x = 10\sqrt[3]{{\frac{4}{9}}} > 0\)

 Chọn B