Trong không gian \({\rm{Oxyz}}\), cho điểm \(M(4;6;4)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{2} = \frac{4} = \frac{z}{3}\), \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{1} = \frac{3}\). Đường thẳng đi qua \(M\) đồng thời cắt cả 2 đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) tại \(A\) và \(B\), độ dài đoạn thẳng \({\rm{AB}}\) bằng

Phương pháp giải

Tìm mối quan hệ giữa các véc tơ 

Lời giải

Do \(A \in {d_1} \Rightarrow A(1 + 2a; - 3 + 4a;3a)\) và \(B \in {d_2} \Rightarrow B(b;2 + b; - 4 + 3b)\).

Ta có \(\overrightarrow {MA}  = (2a - 3;4a - 9;3a - 4);\overrightarrow {MB}  = (b - 4;b - 4;3b - 8)\).

Do điểm \({\rm{M}},{\rm{A}},{\rm{B}}\) thẳng hàng nên \(\exists k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  = k.\overrightarrow {MB} \)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - 3 = k.(b - 4)}&{{\rm{(1) }}}\\{4a - 9 = k.(b - 4)}&{(2)}\\{3a - 4 = k.(3b - 8)}&{(3)}\end{array}} \right.\)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow 2a - 3 = 4a - 9 \Leftrightarrow a = 3\). Thay vào (2), (3) ta có hệ \({\rm{PT}}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k(b - 4) = 3}\\{k(3b - 8) = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 1}\\{k =  - 1}\end{array}.} \right.} \right.\)

Từ đó suy ra \(A(7;9;9);B(1;3; - 1) \Rightarrow AB = 2\sqrt {43} \).

 Chọn B