Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f(0) = 0;f(4) > 4\). Biết hàm \(y = {f^\prime }(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số \(g(x) = \left| {f\left( {{x^2}} \right) - 2x} \right|\) là

Phương pháp giải

Lời giải

Xét hàm số \(h(x) = f\left( {{x^2}} \right) - 2x\).

Ta có: \({h^\prime }(x) = 2x{f^\prime }\left( {{x^2}} \right) - 2\).

\({h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow {f^\prime }\left( {{x^2}} \right) = \frac{1}{x}\) (vô nghiệm \(\forall x \le 0\)).

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow x = \sqrt t ,\forall t > 0\).

Khi đó: \({f^\prime }(t) = \frac{1}{{\sqrt t }}(*)\). Nhận thấy trên khoảng \((0;1)\) thì \(w(t) = \frac{1}{{\sqrt t }}\) nghịch biến và \({f^\prime }(t)\) đồng biến, do đó \((*)\) nếu có nghiệm là duy nhất.

Mặt khác: \({h^\prime }(0).{h^\prime }(1) =  - 2\left( {2{f^\prime }(1) - 2} \right) =  - 8 < 0\) và \({h^\prime }(x)\) liên tục trên [0 ;1] nên \(\exists {x_0} \in (0;1):{h^\prime }\left( \right) = 0\).

Vậy \({h^\prime }(x) = 0\) có nghiệm duy nhất \({x_0} \in (0;1)\) và \(h(x)\) có một điểm cực tiểu (1)

Xét phương trình: \(h(x) = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x^2}} \right) - 2x = 0\,\,(**)\).

Ta có: \(h(0) = f(0) = 0 \Rightarrow x = 0\) là một nghiệm của \((**)\).

Mặt khác:

\(h\left( {\sqrt } \right).h(2) = \left( {f\left( \right) - 2\sqrt } \right)(f(4) - 4) < 0 \Rightarrow \exists {x_1} \in \left( {\sqrt ;2} \right):h\left( \right) = 0.\)

Nên \((**)\) có nghiệm \({x_1} \in \left( {\sqrt ;2} \right)\).

Vì \(h(x)\) có một điểm cực trị, nên \((**)\) có không quá 2 nghiệm.

Vậy \(h(x) = f\left( {{x^2}} \right) - 2x = 0\) có hai nghiệm phân biệt. (2)

Từ (1) và (2) ta được: hàm số \(g(x) = \left| {f\left( {{x^2}} \right) - 2x} \right|\) có 3 điểm cực trị.

 Chọn D