Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lít bằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa có giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải

- Gọi h là chiều cao của hình trụ, biểu diễn h theo R.

- Biểu diễn diện tích toàn phần theo R.

- Sử dụng BĐT Cauchy để tìm giá trị min.

Diện tích hình trụ, thể tích khối trụ

Lời giải

Ta có 1000 lít  = 1 m3.

Gọi h là chiều cao của hình trụ ta có \(K = \pi {R^2}h = 1 \Rightarrow h = \frac{1}{{\pi {R^2}}}\).

Diện tích toàn phần là: \({S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + 2\pi R\frac{1}{{\pi {R^2}}} = 2\pi {R^2} + \frac{2}{R}\)

\( = 2\left( {\pi {R^2} + \frac{1} + \frac{1}} \right) \ge 2.3\sqrt[3]{{\pi {R^2}.\frac{1}.\frac{1}}} = 6\sqrt[3]{{\frac{\pi }{4}}}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\pi {R^2} = \frac{1} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{2\pi }}}}\)

 Chọn C