Cho a, b là các số dương. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - ax} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \frac{7}\). Tìm giá trị lớn nhất của ab.

Phương pháp giải

Dùng phương pháp liên hợp.

Dạng vô định ∞ - ∞ 

Lời giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - ax}  + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - ax}  + 3x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}} - 3x} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{9{x^2} - ax - 9{x^2}}}{{\sqrt {9{x^2} - ax}  - 3x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{27{x^3} + b{x^2} + 5 - 27{x^3}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}.3x + 9{x^2}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - ax}}{{\sqrt {9{x^2} - ax}  - 3x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{b{x^2} + 5}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}.3x + 9{x^2}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - a}}{{ - \sqrt {9 - \frac{a}{x}}  - 3}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac}}}{{{{\left( {\sqrt[3]}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]}}}.3 + 9}}\)

\( = \frac{{ - a}}{{ - 6}} + \frac{b} = \frac{a}{6} + \frac{b} = \frac\).

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} - ax}  + \sqrt[3]{{27{x^3} + b{x^2} + 5}}} \right) = \frac{7}\)

\( \Rightarrow \frac = \frac{7} \Leftrightarrow \frac{6} = 7 \Leftrightarrow 27a + 6b = 42\)

\( \Leftrightarrow b = \frac{6} = 7 - \frac{9}{2}a\)

Khi đó: \(ab = a.\left( {7 - \frac{9}{2}a} \right) =  - \frac{1}{2}\left( {9{a^2} - 14a} \right) =  - \frac{1}{2}{\left( {3a - \frac{7}{3}} \right)^2} + \frac \le \frac\)

Dấu “=” xảy ra ⇔ \(a = \frac{7}{9},b = \frac{7}{2}\). Chọn A