Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 4y - 2z - 6 = 0\) và \(\left( Q \right):x - 2y + 4z - 6 = 0\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) đồng thời cắt các trục tọa độ tại các điểm \(A,B,C\) sao cho hình chóp \(O.ABC\) đều. Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là

Giải thích

Điểm thuộc giao tuyến \(d\) của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 4y - 2z - 6 = 0}\\{x - 2y + 4z - 6 = 0}\end{array}} \right.\).

Chọn \(x = 2 \Rightarrow y = z = 2 \Rightarrow M\left( {2;2;2} \right) \in d\).

Chọn \(x = 0 \Rightarrow y = z = 3 \Rightarrow N\left( {0;3;3} \right) \in d\).

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha  \right)\) và các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\) \( \Rightarrow \left( \alpha  \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1{\rm{\;}}\left( {abc \ne 0} \right)\)

Vì \(d \in \left( \alpha  \right)\) nên \(M,N \in \left( \alpha  \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = 1}\\{\frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{a} = \frac{1}{6}}\\{\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = 1}\end{array} \Rightarrow a = 6} \right.} \right.\)

Để \(O.ABC\) là hình chóp đều thì \(OA = OB = OC \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| \Rightarrow a = b = c = 6\).

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right):x + y + z - 6 = 0\)

Chọn A