Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{2} = \frac{1} = \frac{3}\) và \({d_2}:\frac{1} = \frac{y}{2} = \frac{3}\). Mặt cầu có một đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình

Giải thích

Vectơ chỉ phương của \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \({\vec u_1} = \left( {2;1;3} \right)\), \({\vec u_2} = \left( {1;2;3} \right)\).

Gọi \(AB\) là đoạn vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(A \in {d_1},B \in {d_2}\).

Suy ra: \(A\left( { - 1 + 2a; - 1 + a; - 1 + 3a} \right);B\left( {2 + b;2b;9 + 3b} \right)\).

Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2a + b + 3; - a + 2b + 1; - 3a + 3b + 10} \right)\).

Vì \(AB\) là đoạn vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) nên:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow }\\{\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow }\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{14a - 13b = 37}\\{13a - 14b = 35}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{7}{3}}\\{b =  - \frac{1}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\left( {\frac{3};\frac{4}{3};6} \right)}\\{B\left( {\frac{5}{3}; - \frac{2}{3};8} \right)}\end{array} \Rightarrow AB = 2\sqrt 3 } \right.} \right.} \right.} \right.\).

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính là \(AB\). Suy ra \(I\left( {\frac{8}{3};\frac{1}{3};7} \right)\) và \(R = \frac{1}{2}AB = \sqrt 3 \).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - \frac{8}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{3}} \right)^2} + {(z - 7)^2} = 3\).

 Chọn C