Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Bất phương trình \(f\left( x \right) < {{\rm{e}}^x} + m\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 2;1} \right)\) khi và chỉ khi

Giải thích

Theo giả thiết ta có \(m > f\left( x \right) - {{\rm{e}}^x} = g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\,\,\left( {\rm{*}} \right)\).

Xét hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left( { - 2;1} \right)\) có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - {{\rm{e}}^x}\).

Ta có \({{\rm{e}}^x} > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow {{\rm{e}}^x} > 0,\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\). Mà \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\).

Suy ra \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - {{\rm{e}}^x} < 0,\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\), tức là \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\) \(\left( {{\rm{**}}} \right)\).

Từ \(\left( {\rm{*}} \right)\) và \(\left( {{\rm{**}}} \right)\) ta có bất phương trình đúng với mọi \(x \in \left( { - 2;1} \right)\) khi và chỉ khi \(m \ge g\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow m \ge f\left( { - 2} \right) - {e^{ - 2}}\).

 Chọn D