Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 2\). Gọi \(\left( P \right),\left( Q \right)\) là hai mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) đồng thời vuông góc với nhau theo giao tuyến \(d\) và \(K\) là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) trên đường thẳng \(d\). Diện tích tam giác \(OIK\) lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? Biết \(O\) là gốc tọa độ.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2  \Rightarrow OI = \sqrt 6 \).

Gọi \(E,F\) lần lượt là tiếp điểm của hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) với mặt cầu \(\left( S \right)\).

Vì \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)nên \(d \bot \left( {IEF} \right)\).

Mà \(IK \bot d\)

\( \Rightarrow K \in \left( {IEF} \right) \Rightarrow IEKF\) là hình vuông.

Ta có \(IE = IF = R = \sqrt 2  \Rightarrow IK = 2\).

\({S_{OIK}} = \frac{1}{2}IK.OI.{\rm{sin}}\widehat {OIK} = \sqrt 6 {\rm{sin}}\widehat {OIK} \le \sqrt 6 \).

Dấu "=" xảy \({\rm{ra}} \Leftrightarrow {\rm{sin}}\widehat {OIK} = 1 \Leftrightarrow \widehat {OIK} = {90^ \circ } \Leftrightarrow OI \bot IK\).

 Chọn C