Phương trình \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m\) thuộc khoảng:

Phương pháp giải

Bước 1: Tách về 1 vế đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right) = m\)

Bước 2: Phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt khi đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại ba điểm phân biệt.

Dấu của tam thức bậc hai

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành

Lời giải

Ta có: \({x^3} - 3{x^2} =  - m\)

Đặt \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\); ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

BBT của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\)

Đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\) tại ba điểm phân biệt khi \( - 4 <  - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\)