III. Vận dụng Cho đường tròn \[\left( {A;10{\rm{\;cm}}} \right),\,\,\left( {B;15{\rm{\;cm}}} \right),\,\,\left( {C;15{\rm{\;cm}}} \right)\] tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Hai đường tròn \[\left( B \right)\] và \[\left( C \right)\] tiếp xúc nhau tại \[A'.\] Đường tròn \[\left( A \right)\] tiếp xúc với đường tròn \[\left( B \right)\] và \[\left( C \right)\] lần lượt tại \[C',B'.\] Cho các nhận định sau: (i) \[AA'\] là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \[\left( B \right)\] và \[\left( C ...

Đáp án đúng là: A

Ta có:

⦁ \[AB = AC' + C'B = 10 + 15 = 25{\rm{\;(cm)}};\]

⦁ \[AC = AB' + B'C = 10 + 15 = 25{\rm{\;(cm)}};\]

⦁ \[BC = BA' + A'C = 15 + 15 = 30{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Suy ra tam giác \[ABC\] cân tại \[A.\]

Vì \[BA' = A'C = 15{\rm{\;(cm)}}\] nên \[A'\] là trung điểm \[BC.\]

Tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] có \[AA'\] là đường trung tuyến nên \[AA'\] cũng là đường cao của tam giác \[ABC\] hay \[AA' \bot BC\] tại \[A'\] thuộc cả hai đường tròn \[\left( {B;15{\rm{\;cm}}} \right),\,\,\left( {C;15{\rm{\;cm}}} \right).\]

Vì vậy \[AA'\] là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \[\left( {B;15{\rm{\;cm}}} \right),\,\,\left( {C;15{\rm{\;cm}}} \right).\]

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[AA'B\] vuông tại \[A',\] ta được: \[A{B^2} = A{A'^2} + B{A'^2}.\]

Suy ra \[A{A'^2} = A{B^2} - B{A'^2} = {25^2} - {15^2} = 400.\] Do đó \[AA' = 20{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Do đó chỉ có nhận định (i) là đúng. Vậy ta chọn phương án A.