Cho phương trình m-1log122x-22+4m-5log121(x-2)+4m-4=0 (với m là tham số). Gọi S=a;b là tập hợp các giá trị của m để phương trình có nghiệm trên đoạn 52;4. Tính a+b.

Đáp án B.

Với x∈52;4 thì phương trình tương đương với:

m-1log22x-2+m-5log2x-2+m-1=0            (1)

Đặt log2(x-2)=t. Với x∈52;4 thì t∈-1;1. Phương trình (1) trở thành:

(m-1)t2+(m-5)t+m-1=0⇔m(t2+t+1)=t2+5t+1⇔m=t2+5t+1t2+t+1 (2)

Xét hàm số f(t)=t2+5t+1t2+t+1=1+4tt2+t+1 trên đoạn -1;1 .

Đạo hàm f'(t)=-4(t2-1)t2+t+1≥0, ∀t∈-1;1; f'(t)=0⇔t=±1. Khi đó hàm số f(t) đồng biến trên -1;1. Suy ra min-1;1f(t)=f(-1)=-3; max-1;1f(t)=f(1)=73.

Phương trình (2) có nghiệm ⇔ Đường thẳng y-m cắt đồ thị hàm số f(t) ⇔-3≤m≤73. Vậy S=-3;73→a=-3, b=73→a+b=-3+73=-23.