Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4: y = f(x) được cho như hình vẽ sau:Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = g(x) = [f’(x)]² – f(x).f’’(x) và trục Ox

Đáp án A

Phương pháp:

Đặt Đáp án A

Phương pháp:

Đặt f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)(x – x₄), tính đạo hàm của hàm số y = f(x)

Xét hàm số hx=f'xfx và chứng minh  f(x).f’’(x) – [f’(x)]² < 0 ∀x∉x1;x2;x3;x4

Cách giải: Đồ thị hàm sốy = f(x) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt nên

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)(x – x₄)

=> f ’(x) = a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)(x – x₄) + a(x – x₁)(x – x₃)(x – x₄) + a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₄) + a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)

f ’(x) = f(x)1x-x1+1x-x2+1x-x3+1x-x4 ∀x∉x1;x2;x3;x4 => f’(x) ≠ 0 ∀x∉x1;x2;x3;x4

Đặt hx=f'xfx= 1x-x1+1x-x2+1x-x3+1x-x4 ∀x∉x1;x2;x3;x4

Ta có

= -1(x-x₁)2+-1(x-x₂)2+-1(x-x₃)2+-1(x-x₄)2<0 ∀x∉x1;x2;x3;x4

=> f ''(x).f(x) – [f’(x)]² < 0∀x∉x1;x2;x3;x4

=> g(x) = [f’(x)]² – f(x).f’’(x)>0∀x∉x1;x2;x3;x4

Khi f(x) = 0 => f '(x) ≠ 0 => g(x) = [f’(x)]² – f(x).f’’(x) ≠ 0

Vậy đồ thị hàm số y = g(x) = [f’(x)]² – f(x).f’’(x) không cắt trục Ox