Cho hàm số y=2x−1x−2 có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến Δ của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó tiếp tuyến của Δ của (C)tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn nhất thuộc khoảng nào

Đáp án A

Vì I là tâm đối xứng của đồ thị C⇒I2;2 

Gọi Mx0;2x0−1x0−2∈C⇒y'x0=−3x0−22 suy ra phương trình tiếp tuyến Δ là

y−y0=y'x0x−x0⇔y−2x0−1x0−2=−3x0−22x−x0⇔y=−3x0−22+2x02−2x0+2x0−22 

Đường thẳng Δ cắt TCĐ tại A2;yA→yA=2x0+2x0−2⇒A2;2x0+2x0−2 

Đường thẳng Δ cắt TCN tại BxB;2→xB=2x0−2⇒B2x0−2;2 

Suy ra IA=6x0−2;IB=2x0−2→IA.IB=6x0−2.2x0−2=12

Tam giác IAB vuông tại I⇒RΔIAB=AB2=IA2+IB22≥2IA.IB2=6 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi IA=IB⇔3=x0−22⇔x0=2+3x0=2−3

Suy ra phương trình đường thẳng Δ và gọi M, N lần lượt là giao điểm của Δ với Ox, Oy

Khi đó M2x02−2x0+23;0,N0;2x02−2x0+23⇒SΔOMN=12OM.ON

Vậy Smax=14+83≈27,85∈27;28 khi x0=2+3