Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn 1;3, fx≠0 với mọi x∈1;3, đồng thời f'x1+fx2=fx2x−12 và f1=−1. Biết rằng ∫13fxdx=aln3+ba,b∈ℤ, tính tổng S=a+b2.

⇒∫1xf'x1+fx2fx4dx=∫1xx−12dx,∀x∈1;3⇔∫1x1fx4+2fx3+1fx2dfx=x−133x1⇔−13fx3−22fx2−1fxx1=x−133−03⇔−13fx3−22fx2−1fx−−13f13−22f12−1f1=x−133⇔−13fx3−22fx2−1fx−13−1+1=x−133⇔−13fx3−22fx2−1fx=x−13+13⇔13−1fx3−−1fx2+−1fx=13x3−x2+x (*)