Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại hai số phức phân biệt z1,z2 thỏa mãn đồng thời các phương trình z-1=z-i và z+2m=m+1. Tổng tất cả các phần tử của S là

Cách 1 (cách hình học): Gọi M(x;y)x.y∈ℝ là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Có: z+2m=m+1≥0 

TH1: m+1=0⇔⇔m=-1⇒z=2 (loại) vì không thỏa mãn phương trình: z-1=z-i 

TH2: m+1>0⇔m>-1 

Theo bài ra ta có:

z-1=z-iz+2m=m+1⇔x-1+yi=x+y-1ix+2m+yi=m+1⇔x-12+y2=x2+y-12x+2m2+y2=m+12⇔x-y=01x+2m2+y2=m+122*

Từ (1) suy ra: tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn của số phức z là đường thẳng: (∆): x-y=0 

Từ (2) suy ra: tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn của số phức z là đường tròn

(C): Tâm I(-2m;0)bk R=m+1 

Khi đó: M∈∆∩(C)⇒ số giao điểm M chính là số nghiệm của hệ phương trình (*).

Để tồn tại hai số phức phân biệt z1,z2 thỏa mãn ycbt ⇔(C) cắt ∆ tại hai điểm phân biệt

⇔dI,∆0⇔-m+1<2m0⇔1-2-1

Vì m∈ℝ⇒m∈S0;1;2. Vậy tổng các phần tử của S là 0+1+2=3.

Cách 2 (cách đại số):

Giả sử: z=x+yix;y∈ℝ 

Có: z+2m=m+1≥0

TH1: m+1=0⇔⇔m=-1⇒z=2 (loại) vì không thỏa mãn phương trình: z-1=z-i 

TH2: m+1>0⇔m>-1 (1)

Theo bài ra ta có:

z-1=z-iz+2m=m+1⇔x-1+yi=x+y-1ix+2m+yi=m+1⇔x-12+y2=x2+y-12x+2m2+y2=m+12⇔y=xx+2m2+x2=m+12⇔y=x2x2+4mx+3m2-2m+1=0*

Để tồn tại hai số phức phân biệt z1,z2 thỏa mãn ycbt PT (*) có 2 nghiệm phân biệt

⇔∆'=4m2-2(3m2-2m-1)=2-m2+2m+1>0⇔1-2

Kết hợp điều kiện (1) và (2), m∈ℝ⇒m∈S=0;1;2

Vậy tổng các phần tử của S là: 0+1+2=3

Chọn đáp án D.