Cho các số phức z1=1,z2=2−3i và các số z thỏa mãn z−1−i+z−3+i=22. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=z−zi+z−z2.Tính tổng S=M+m

Đáp án B.

Số phức z1=1 có điểm biểu diễn là A1;0 , số phức z2=2−3i  có điểm biểu diễn là B2;−3  

Gọi Ex;y là điểm biểu diễn của số phức z, khi đó z=x+yi,x,y∈ℝ 

Suy ra 

P=x−1+yi+x−2+y+3i=x−12+y2+x−22+y+32

⇒P=EA+EB.  

Mặt khác

z−1−i+z−3+i=22⇔x−1+y−1i+x−3+y+1i=22

 ⇔x−12+y−12+x−32+y+12=22* 

Gọi M1;1,N3;−1 thì EM+EN=22=MN⇒ Điểm E thuộc đoạn MN.

Ta có phương trình đường thẳng MN là x+y+z−2=0 với  x∈1;3

Bài toán trở thành:

Cho điểm E thuộc đoạn MN . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=EA+EB

Đặt f(x)=x+y−2.  Ta có

f1;0=1+0−2=−1f2;−3=2−3−2=−3⇒f1;0.f2;−3=3>0 . Suy ra hai điểm A,B nằm cùng về một phía đối với MN . Gọi A' là điểm đối xứng với A qua MN thì A'2;1.Khi đó

P=EA+EB=EA'+EB≥A'B=4.

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

E∈A'B⇒E=A'B∩MN⇒E2;0 hay z = 2.

Do điểm E luôn thuộc đường thẳng MN nên P=EA+EB đạt giá trị lớn nhất khi E≡M hoặc E≡N. 

Có

MA+MB=1+17NA+NB=25⇒MA+MB>NA+NB⇒maxP=MA+MB=1+17. 

Vậy

M=1+7,m=4⇒S=M+m=5+17.