Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị (C). Biết rằng (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x₁ > x₂ > x₃ > 0 và trung điểm nối 2 điểm cực trị của (C) có hoành độ x0=13. Biết rằng 3x1+4x2+5x32=44x1x2+x2x3+x3x1. Hãy xác định tổng S=x1+x22+x32.

Chọn C.

Tập xác định: D=R Ta có y=3ax2+2bx+c 

Do đồ thị (C) có hai điểm cực trị nên ta có phương trình y '=0 có hai nghiệm phân biệt hay là phương trình 3ax2+2bx+c=0 có hai nghiệm phân biệt x_i, x_j và hai nghiệm này cũng chính là hoành độ của hai điểm cực trị của đồ thị (C). theo vi-ét ta có xi+xj=-2b3a. 

Suy ra hoành độ giao điểm nối hai điểm cực trị là

x0=xi+xj2=13⇔-2b3a=23⇔b=-a. 

Mặt khác do giả thiết ta có phương trình ax3+bx2+cx+d=0 có ba nghiệm phân biệt x₁, x₂, x₃ nên theo vi-ét ta có  x1+x2+x3=-ba=aa=1.

Ta có:

3x1+4x2+5x32=44x1x2+x2x3+x3x1⇔9x12+16x22+25x32=20x1x2+4x2x3+14x3x1 

⇔203x12+403x22+x22+4x32+73x12+21x32=20x1x2+4x2x3+14x3x1 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có:

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế ta có: 9x12+16x22+25x32≥20x1x2+4x2x3+14x3x1. 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

4x12=9x22x22=4x324x12=36x32x1+x2+x3=1⇔x1=32x2x2=2x3x3=13x1x1+x2+x3=1⇔x1=12x2=13x3=16. 

Vậy S=x1+x22+x32=12+132+163=133216.