Cho hàm số fx=log2xlog2x+1. Tính tổng S=f2−100+f2−99+...+f2−2+f20+f21+...+f298

Đáp án D

Ý tưởng bài toán: Với bài toán dạng này, ta thường chọn  hai giá trị a, b bất kì, tính tổng fa+fb và tìm mối quan hệ giữa hai giá trị a, b.

fa+fb=log2alog2a+1+log2blog2b+1=2log2alog2b+log2a+log2blog2a+1log2b+1

=2log2alog2b+log2a+log2blog2alog2b+log2a+log2b+1=2log2alog2b+log2ablog2alog2b+log2ab+1

Cần chọn hai giá trị a, b sao cho tử rút gọn được với mẫu.

Ta thường chọn a+b=k hoặc ab=k. Ở bài toán này ta chọn ab=k.

Nếu ab=14 thì log2ab=log214=−2.

Suy ra

fa+fb=2log2alog2b−2log2alog2b−2+1=2

Vậy với các giá trị a, b thỏa mãn ab=14 thì fa+fb=2.

Ta có 

S=f2−100+f2−99+...+f2−2+f20+f21+...+f298

=f2−100+f298+f2−99+f297+...+f2−2+f20=2+2+...+2⏟99 so 2

=99.2=198.