Cho hàm số y=2x+1x+1 (C), gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M(a;b) là một điểm thuộc đồ thị. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại hai điểm A và B. Để tam giác IAB có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất thì tổng a+b gần nhất với số nào sau đây?

Đáp án B

Tâm đối xứng của đồ thị (C) là giao điểm hai đường tiệm cận. (C) có tiệm cận đứng là x=-1, tiệm cận ngang là y=2 => I(-1;2) 

Ta có: y'=1x+12⇒ PTTT tại điểm Ma;b là y=1a+12x−a+2a+1a+1. Từ đây ta xác định được giao điểm của PTTT tại Ma;b và hai tiệm cận x=−1, y=2 là A−1;2aa+1,B2a+1;2.

Độ dài các cạnh của ΔIAB như sau

 IA=2aa+1−2=2a+1IB=2a+1+1=2a+1AB=21a+12+a+12⇒SIAB=12IA.IB=2;

P=IA+IB+AB2=1a+1+a+1+1a+12+a+12

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có p≥2+2 đạt được ⇔a+1=1⇔a=0⇒b=1a=−2⇒b=3⇒a+b=1