Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(3;−1;−3), B(−3;0;−1), C(−1;−3;1) và mặt phẳng (P):2x+4y+3z−19=0. Tọa độ M(a,b,c) thuộc (P) sao cho MA→+2MB→+5MC→ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a+b+c bằng:

Đáp án C.

Gọi Ix;y;z thỏa mãn

IA→+2IB→+5IC→=0⇒x=3+2.(−3)+5.(−1)8=−1y=−1+2.0+5.(−3)8=−2z=−3+2.(−1)+5.18=0 

⇒I=(−1;−2;0) 

Ta có

MA→+2MB→+5MC→=MI→+IA→+2MI→+2IB→+5MI→+5IC→ 

=8MI→+IA→+2IB→+5IC→=8MI→ 

⇒MA→+2MB→+5MC→ min ⇔8MI→ min <=> M là hình chiếu của I lên (P)

Gọi Δ là đường thẳng đi qua I−1;2;0 và vuông góc với

(P):2x+4y+3z−19=0 có vectơ chỉ phương là 2;4;3 ⇒Δ:x=−1+2ty=−2+4tz=3t 

Thế vào (P)

⇒2(−1+2t)+4(−2+4t)+3(3t)−19⇔t=1 

⇒x=1y=2z=3⇒M1;2;3⇒a+b+c=6