Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh A. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm I thuộc đoạn AB sao cho BI=2AI. Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Đáp án B.

Ta có AD//BC,AD∉(SBC),BC⊂(SBC)⇒AD//(SBC) 

⇒d(AD;SC)=d(AD;(SBC))=d(D;(SBC)).

Qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại H.

Suy ra IH⊥CD 

Từ CD⊥IH,CD⊥SI⇒CD⊥(SIH)⇒CD⊥SH.

Suy ra  (SCD),(ABCD)⏜=SH,IH⏜=SHI⏜⇒CD⊥SH

SI=HI.tanSHI⏜=a.tan60°=a3⇒VS.BCD=12SABCD=a336.

Lại có VS.BCD=13.S∆SBC.d(D;(SBC))⇒d(D;(SBC)=3VS.BCDS∆SBC (1)

Từ IB=23AB=23a⇒SB=SI2+IB2=a32+2a32=a313.

Từ BC⊥AB,BC⊥SI⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB⇒∆SBC vuông tại B.

Suy ra S∆SBC=12SB.SC=12.a313.a=a2316 (2)

Từ (1) và (2), suy ra  d(D;(SBC))=3a336a2316=3a331=33931a

Vậy d(AD;SC)=d(D;(SBC))=39331a