Cho hàm số y=13x3−2m+1x2−mx+2018. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của hàm số m để hàm số có hai điểm cực trị x1,x2 (x1x2.

Đáp án C.

  y'=x2−22m+1x−m;y'=0⇔x2−22m+1x−m=0(*).

Δ'=2m+12+m=4m2+5m+1

Để hàm số có hai điểm cực trị thì y'=0  có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó hai điểm cực trị x1,x2  là hai nghiệm của phương trình (*).

Xét các trường hợp sau:

+ Phương trình (*) có nghiệm bằng 0⇒m=0 .

Với m=0  , (*) trở thành x2−2x=0⇔x1=0x2=2 , không thỏa mãn x1x2  .

+ Phương trình (*) có nghiệm 0

+ Phương trình (*) có nghiệm x1<0

Khi đó ta có

x1>x2⇔−x1>x2⇔x1+x2<0 

Vậy điều kiện cho trường hợp này là

P<0S<0⇔−m<022m+1<0⇔m>0m<−12

 hệ này vô nghiệm.

+ Phương trình (*) có nghiệm x1x2  .

Vậy điều kiện cho trường hợp này là

Δ'>0P>0S<0⇔4m2+5m+1>0−m>022m+1<0⇔m∈−∞;−1∪−14;+∞m<0m<−12⇔m∈−∞;−1

Vậy không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.