Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là r=23, độ dài đường sinh l=2. Người ta cắt theo một đường sinh và trải phẳng ra được một hình quạt. Gọi M, N thứ tự là trung điểm OA và OB. Hỏi khí cắt hình quạt theo hình chử nhật MNPQ (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường sinh PN trùng MQ (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng bao nhiêu?

Đáp án B.

Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với MN, đường thẳng này cắt MN, PQ, cung AB,AQ lần lượt tại H,F,D,E 

Độ dài cung AB là chu vi đường tròn đáy của hình nón nên

lAB=2πr=2π.23=4π3

Lại có lab=α.OA⇒α=labOA=4π3:2=2π3=AOB⏜

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAB có

AB=OA2+OB2-2.OA.OB.cosAOB⏜=22+22-2.22-12=23

Do M,N lần lượt là trung điểm của OA,OB nên AOB⏜⇒AOD⏜=60°

⇒MH=12MN=32

Do OD⊥AB nên OD là tia phân giác của AOB⏜⇒AOD⏜=60°. Xét tam giác vuông OMH có OH=OM.cos60=1.12=12

Xét tam giác OPQ có cosPOQ⏜=OP2+OQ2-PQ22.OP.OQ=22+22-322.2.2=58

Mà cosPOQ⏜=cos2DOQ⏜=2cos2DOQ⏜-1=58⇒cosDOQ⏜=134

Xét tam giác DOQ có:

QD2+OQ2+OD2-2.OQ.OD.cosDOQ⏜=8-213

Xét tam giác vuông DQF có

DF2=QD2-QF2=8-213-322=294-213

⇒DF=29-8132=4-1322=4-132

⇒HF=OD-OH-DF=2-12-4-132=13-12=MQ-NP

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ tạo bởi hình chữ nhật MNPQ. Chu vi đáy của hình trụ chính là độ dài của PQ nên PQ=2πR→R=32π 

Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật MNPQ là:

V=πR2.MQ=π32π2.13-12=313-18π