Cho hàm số y=x3−3mx2+3m2−1x+2020. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0;+∞

Ta có:  y'=3x2−6mx+3m2−1

Cho  y'=0⇔3x2−6mx+3m2−1=0⇔x2−2mx+m2−1=0

Ta có: Δ'=m2−m2+1=1>0, khi đó phương trình  có 2 nghiệm phân biệt:  x1=m+1x2=m−1

Ta có BBT:

Ta có:

fm−1=m3−3m+2022

fm+1=m3−3m+2018

TH1:  01

Ta có:  f0=2020

Để hàm số có GTNN trên 0;+∞ thì fm+1≤f0⇔m3−3m+2018≤2020

⇔m3−3m−2≤0

Xét hàm số fm=m3−3m−2 ta có  f'm=3m2−3=0⇔m=±1

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy  fm≤0⇔m≤2

Kết hợp điều kiện  ⇒1

TH2: m−1≤0

Kết hợp 2 trường hợp ta có: 1

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D