Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA⊥ABCD và SA=2a. Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).

Đáp án D

Cách 1: Tư duy tự luận (Tính khoảng cách dựa vào hình chiếu)

Ta có 

AB//CDAB⊄SCDCD⊂SCD⇒AB//SCD⇒dB,SCD=dA;SCD

Lại có CD⊥AD,AD⊂SADCD⊥SA,SA⊂SADAD∩SA=A⇒CD⊥SAD .

Trong mặt phẳng (SAD)  : Kẻ AH⊥SD,H∈SD   thì CD⊥AH .

Suy ra AH⊥ACD⇒AH=dA;SCD=dB;SCD .

 ΔSAD vuông tại A nên 

1AH2=1SA2+1AD2=12a2+1a2=54a2⇒AH=2a5

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là d=2a55  .

Cách 2: Tư duy tự luận (Tinh khoảng cách qua công thức thể tích)

Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD=13SA.SABCD=13.2a.a2=2a33  (đvtt)

Do SΔBCD=12SABCD⇒VS.BCD=12VS.ABCD=a33 (đvtt).

Ta có CD⊥SAD  (xem lại phần chứng minh ở cách 1)  ⇒CD⊥SD⇒ΔSCDvuông tại D. Suy ra

SΔSCD=12SD.CD=12SA2+AD2.CD=12.a.2a2+a2=a252

 (đvdt)

Mặt khác 

VS.BCD=VB.SCD=13dB;SCD.SΔSCD⇒dB;SCD=3VS.BCDSΔSCD=2a5

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là d=2a55  .