Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 3x2+y2−2.log2x−y=121+log21−xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=2x3+y3−3xy.

Đáp án B

Ta có:

3x2+y2−2.log2x−y=121+log21−xy⇔3x2+y2−2.log2x−y2=log22−2xy 

⇔3x2+2xy+y2−2+2xy.log2x−y2=log22−2xy⇔3x−y2.log2x−y=32−2xy.log22−2xy 

Xét hàm số ft=3t.log2t trên khoảng 0;+∞, có f't=3tln3.log2t+3tt.ln2>0;∀t>0

Suy ra ft là hàm số đồng biến trên 0;+∞ mà

fx−y2=f2−2xy⇒x2+y2=2

Khi đó:

M=2x3+y3−3xy=2x+yx+y2−3xy−3xy⇔2M=2x+y2x+y2−3.2xy−3.2xy2x+y2x+y2−3x+y2+6−3x+y2+6=2x+y6−x+y2−3x+y2+6=−2a3−3a2+12a+6,

Với a=x+y∈0;4

Xét hàm số fa=−2a3−3a2+12a+6 trên 0;4,

suy ra max0;4fa=13. 

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 132