Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=23x3−mx2−23m2−1x+23 có hai điểm cực trị có hoàng độ x1,x2 sao cho x1x2+2x1+x2=1

Đáp án A

TXĐ: D = R

Ta có hàm số y=23x3−mx2−23m2−1x+23 có đạo hàm là y'=2x2−2mx−23m2−1

Cho y'=0⇔2x2−2mx−23m2−1=0

⇒x2−mx−3m2+1=0 (1)

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi

Δ=m2+3m2−1>0⇔4m2−1>0⇔m>12m<−12

Khi đó hai điểm cực trị x1,x2 của hàm số chính là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Áp dụng định lí Viet ta có: x1+x2=mx1.x2=1−3m2

Theo bài ra ta có:

x1x2+2x1+x2=1⇔1−3m2+2m=1⇔3m2−2m=0⇔m=0(ktm)m=23tm