Cho hàm số f0;+π→ℝ thỏa mãn điều kiện ftan2x=tan4x+1tan4x; ∀x∈0;π4Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng 0;π2

Đặt

Ta có 

t=2tan1-tan2x⇒2t=1tanx-tanx⇒4t2=1tan2x+tan2x-2

Từ đó 

4t2+22=1tan2x+tan2x2⇒1tan4x+tan4x=16t4+16t2+2

Lúc đó ft=16t4+16t2+2 với t = tan(2x)

Khi x∈0;π4 thì t = tan(2x) và liên tục trên miền đó nên ta có: ft=16t4+16t2+2

Bắt đầu từ đây ta có: 

fsinx+cosx=16sin4x+16sin2x+2+16cos4x+16cos2x+2=161sin4x+1cos4x+161sin2x+1cos2x+4

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

1sin4x+1cos4x≥2sin2xcos2x=8sin22x≥8∀x∈0;π21sin2x+1cos2x≥2sinxcosx=4sin2x≥4∀x∈0;π2

Cuối cùng ta thu được f(sinx) + f(cosx)≥196

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=π4

Đáp án A