Cho hàm số y=x4-2mx2+m, có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến Δ với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn γ:  x-12+y-12=4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ điểm A, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A.

- Tìm điểm cố định mà Δ đi qua với mọi m.

- Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn γ:  x-12+y-12=4.

- Biện luận: Để Δ cắt đường tròn γ theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì dI;Δ phải lớn nhất. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên tìm GTLN của dI;Δ, từ đó tìm m.

Giải chi tiết:

Vì A∈C và A có hoành độ bằng 1 nên ta có A1;1-m

Ta có y'=4x3-4mx⇒y'1=4-4m.

Phương trình tiếp tuyến của  (C) tại A là: y=4-4mx-1+1-m⇔4-4mx-y-3+3m=0   Δ

Để Δ cắt đường tròn γ theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì dI;Δ phải lớn nhất.

Ta có: dI;Δ≤IF (quan hệ đường vuông góc, đường xiên).

Vậy để Δ cắt đường tròn γ:  x-12+y-12=4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì m=1716