Cho hàm số fx có đạo hàm và liên tục trên đoạn 4;8 và fx≠0∀x∈4;8. Biết rằng ∫48f'x2fx4dx=1 và f4=14,f8=12. Tính f6.

Đáp án D.

Ta có: 

∫48f'xfx2dx=∫48fx−2dfx=fx−1−148=−1f8+1f4=−2+4=2.

Gọi k là 1 hằng số thực. Xét

∫48f'xf2x+k2dx=∫48f'x2fx4dx+2k∫48f'xf2xdx+k2∫48dx=1+2k.k+4k2=2k+12.

Chọn k=−12, ta có ∫48f'xf2x−122dx=0, mà f'xf2x−122≥0 nên f'xf2x−122=0⇔f'xf2x=12

⇒∫f'xf2xdx=x2+C⇒−1fx=x2+C.

 Với x= 4, ta có

−1f4=2+C⇔−4=2+C⇔C=−6.

Do đó: fx=−1x2−6=212−x. Do đó f6=212−6=26=13.