Cho hàm số y=x3+3x2+1 có đồ thị (C) và điểm A(1;m). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để qua A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị (C). Số phần tử của S là

Chọn C.

Đường thẳng d đi qua điểm A(1;m) hệ số góc k có phương trình là y=kx-1+m.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ phương trình

x3+3x2+1=kx-1+m13x2+6x=k2 có nghiệm x

Thay (2) vào (1) ta có phương trình x3+3x2+1=3x2+6xx-1+m⇔2x3-6x-1=-m3.

Qua điểm A(1;m) kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị C⇔ phương trình (3) có ba nghiệm phân biệt ⇔ hai đồ thị hàm số y=fx=2x3-6x-1 và y=-m cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

Ta có bảng biến thiên của hàm số y=2x3-6x-1 như sau

Từ bảng biến thiên của hàm số y=f(x) suy ra -5<-m<3⇔-3