Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d: y=x+m-1 cắt đồ thị hàm số y=2x+1x+1 tại hai điểm phân biệt M,N sao cho MN=23.

Chọn D.

Ta có PTHĐGĐ của đường thẳng (d) và đồ thị hàm số y=2x+1x+1

2x+1x+1=x+m-1,x≠-1⇔2x+1=x+m-1x+1⇔x2+m-2x+m-2=02

Phương trình 2x+1x+1=x+m-1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1,x2≠-1.

⇔Δ>01-m+2+m-2≠0⇔m-22-4m-2>01≠0⇔m2-8m+12>0⇔m<2m>6

Gọi Mx1;x1+m-1,Nx2;x2+m-1 là giao điểm của hai đồ thị.

Ta có

MN=23⇔MN2=12⇔x2-x12+x2-x12=12⇔x22-x12-2x1x2=6⇔x1+x22-4x1x2-6=0⇔m-22-4m-2-6=0⇔m2-8m+6=0⇔m-22-4m-2-6=0⇔m2-8m+6=0⇔m=4+10m=4-10

So với điều kiện có hai nghiệm phân biệt, ta nhận cả hai giá trị m=4±10.