Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sauCó bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số g(x)=f(2–x)–2?I. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (–4;–2).II. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).III. Hàm số g(x) đạt cực tiểu tại điểm –2.IV. Hàm số g(x) có giá trị cực đại bằng –3.

Đáp án C

Từ bảng biến thiên ta có hàm số y=f(x) cóf'x=0⇔x=0x=2, f'x>0⇔x<1x>2, f'x<0⇔0

Xét hàm số gx=f2−x−2 ta có g'x=−f'2−x.

Giải phương trình g'x=0⇔2−x=02−x=2.

Ta có

g'x>0⇔−f'2−x>0⇔f'2−x<0⇔0<2−x<2⇔0

g'x<0⇔−f'2−x<0⇔f'2−x>0⇔2−x<02−x>2⇔x>2x<0

g0=f2−0−2=f2−2=−4g2=f2−2−2=f0−2=−3

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (–∞;0) nên I sai.

Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0;2) nên II sai.

Hàm số g(x) không đạt cực tiểu tại điểm –2 nên III sai.

Hàm số g(x) đạt cực đại tại x = 2 và cực đại bằng –3 nên IV đúng.