Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi V₁, V₂, V₃ lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh trung trực của đoạn thẳng AB, quay tam giac OBC quanh trung trực của đoạn thẳng BC. Khi biểu thức V₁+V₂ đạt giá trị lớn nhất, tính V₃ theo R.

Chọn D

V1=13OP.S1=13OPπAC22=π3OP.PA2=π3OPOA2−OP2=π3OPR2−OP2

V2=13OQ.S2=13OQπAB22=π3OQ.QA2

=π3OQOA2−OQ2=π3OQR2−OQ2.

Xét hàm fx=xR2−x2. Với 0≤x

Khi đó f'x=R2−3x2.f'x=0⇔x=R3x=−R3.

Lập bảng biến thiên, thấy rằng maxx∈0;Rgx=fR3.

Khi đó, áp dụng cho V1,V2: V1+V2=π3OPR2−OP2+OQR2−OQ2 đạt giá trị lớn nhất khi OP=OQ=R3.

Hay khi đó tam giác ABC cân tại A (do OP = OQ).

Mà lúc đó AB=2R2−OQ2=2R2−R23=2R63.

Do tam giác ABC cân A nên khi đó AM⊥BC.

Ta có

SABC=12AM.BC=AB.AC.BC4R⇒AM=AB.AC2R=4R2.692R=4R3

Mà AM=AO+OM⇒OM=4R3−R=R3

Vậy V3=13OM.S3=13OM.π.MC2=π3OMR2−OM2=π3.R3R2−R29=8πR381