Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện SAMN là

Đáp án C

Gọi E là trung điểm của BC. Qua B, C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN và cắt đường thẳng AE tại P, Q.

Theo định lí Talet, ta có ABAM=APAGACAN=AQAG⇒ABAM+ACAN=APAG+AQAG=AP+AQAG

Mặt khác ΔBPE=ΔCQE⇒PE=QE⇒AP+AQ=AE+PE+AE−QE=2AE

Do đó ABAM+ACAN=2AEAG=2.32=3⇒1AM+1AN=3

Đặt AM=xAN=y⇒1x+1y=3

Vì SABC là tứ diện đều ⇒SG⊥ABC và SG=23

Do đó VSAMN=13SΔAMN.SG=1312AM.ANsin60o.SG=212AM.AN=212xy

Ta có 3=1x+1y≥2xy⇔xy≥23⇔xy≥49⇒Vmin=227