Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B, hai thành phố này bị ngăn cách bởi một con sông. Người ta cần xây một cây cầu bắc qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố A cách bờ sông một khoảng bằng 1 km, thành phố B cách bờ sông một khoảng bằng 4 km, khoảng cách giữa hai đường thẳng đi qua A,B và vuông góc với bờ sông là 10 km (hình vẽ). Hãy xác định vị trí xây cầu để tổng quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là nhỏ nhất

Đặt CM = x (với 0≤x≤10) thì DN=10-x 

Khi đó AM=x2+1 và BN=BN=10-x2+16=x2-20x+116

Tổng quảng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là  

Do MN không đổi nên tổng quảng đường nhỏ nhất khi và chỉ khi

AM+BN=x2+1+x2-20x+116

nhỏ nhất.

Xét hàm số fx=x2+1+x2-20x+116 với x∈0;10

Ta có f'x=xx2+1+x-10x2-2x+116

Khi đó

f'x=0⇔xx2-2x+116=10-xx2+1⇔x2x2-20x+116=x2-20x+100x2+1⇔16x2=x2-20x+100⇔15x2+20x-100=0⇔x=-103;x=2 

Do x∈0;10 nên ta chọn x = 2

Ta có f0=11;f2=55;f10=2+101 

Suy ra minx∈0;10fx=55⇔x=2 

Vậy CM = 2km

Đáp án C