Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f(0)=1, ∫01f'x2dx=130, ∫012x−1fxdx=−130. Tích phân ∫01fxdx bằng

Đáp án A

Đặt u=fxdv=2x−1dx⇒du=fxdxv=x2−x

⇒−130=∫012x−1fxdx=x2−xfx10−∫01x2−xf'xdx=−∫01x2−xf'xdx

⇒∫01x2−xf'xdx=130.

Ta có: ∫01x2−x2dx=∫01x4−2x3+x2dx=x55−x42+x3310=130.

Do đó, ∫01f'x−x2−x2dx=∫01f'x2dx−2∫01x2−xfxdx+∫01x2−x2dx=0  

⇒f'x=x2−x⇒fx=x33−x22+C, mà f(0)=1 nên C=1⇒fx=x33−x22+1

Vậy ∫01fxdx=∫01x33−x22+1dx=x412−x36+x10=1112