Tìm số giá trị nguyên của tham số thực m để tồn tại các số thực x;y thỏa mãn ex2+y2−m+ex+y+xy−m=x2+y2+x+y+xy−2m+2 .

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số ft=et−t−1; ∀t∈ℝ .

f't=et−1 và f't=0⇔t=0.

Ta thấy f'(t)  đổi dấu từ "-" sang "+" khi qua t = 0 nên ft≥f0=0;∀t∈ℝ .

Do đó ex2+y2−m−x2+y2−m−1≥0, ∀x,y∈ℝex+y+xy−m−x+y+xy−m−1≥0, ∀x,y∈ℝ .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x2+y2=mx+y+xy=m .

Hay ex2+y2−m+ex+y+xy−m=x2+y2+x+y+xy−2m+2⇔x2+y2=m        1x+y+xy=m   2

Đặt S=x+y; P=x.y .

Ta có: S2−2P=m S+P=m  ⇒S2−S−3P=0 .

Vì S2≥4 P⇒S∈0;4 .

Lấy 1+2.2  vế theo vế ta được: S2+2S=3m  3

Xét hàm số fS=S2+2S;  S∈0;4 , có f'S=2S+2>0;  ∀S∈0;4 .

Yêu cầu bài toán ⇔3  có nghiệm ⇔f0≤m≤f4⇔0≤m≤8

Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m  thỏa mãn.