Có bao nhiêu số nguyên dương m nhỏ hơn 20 thỏa mãn phương trình logmx+logmm=10x có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

Đáp án đúng là: B

Với số nguyên dương m  nhỏ hơn 20 ta có:

logmx+logmm=10x⇔mx+mlogm=1010x

⇔10x(mx+mlogm)=10x.1010x⇔m.10x.log(m.10x)=10x.1010x(1)

Đặt 10x=a;l og(m.10x)=b  có: a.10a=b.10b⇒a=b⇒10x=log(m.10x)=logm+x.

⇒logm=10x−x

Đặt g(x)=10x−x  có: g'(x)=10x.ln10−1 .

Ta có: g'(x)=0⇔x=−log(ln10) ; g−logln10=10−logln10+logln10=ln10−1+logln10.

Ta có bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm .

⇔logm>g−logln10⇔logm>ln10−1+logln10

⇔m>10ln10−1+logln10≈6,72

Suy ra m∈7;8;...; 19 .

Vậy có 13 số.